Influência da estrutura da matriz de covariâncias na classificação de reprodutores caprinos

Influence of covariance matrix structure type on male goat ranking

 

 

Santoro, K.R.¹ e Barbosa, S.B.P.²

¹Unidade Acadêmica de Garanhuns. Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE). Av. Bom Pastor, s/n. Bairro Boa Vista. Caixa Postal 152. CEP 55296-901. Garanhuns. Brasil. krsantoro@uag.ufrpe.br
²Departamento de Zootecnia. Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE). Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n. Bairro de Dois Irmãos. 52171-900 Recife. Brasil. sbarbosa@dz.ufrpe.br

 

 

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RESUMO

Analisaram-se dados de peso-idade de 412 caprinos da raça Moxotó, filhos de 151 mães e 50 pais, nascidos entre 1984 e 1988, nos meses de março a julho, no estado de Pernambuco, totalizando 1749 observações. Considerou-se um modelo misto com os seguintes fatores: sexo (S), ano de nascimento (A), mês de nascimento (M), tipo de parto (T), tipo de pelagem (P), ordem de parto (O), efeito linear da umidade relativa (U), efeito linear da temperatura (C), efeito linear da pluviosidade (H), efeito aleatório do reprodutor (R), efeito aleatório da mãe (F), efeito linear (D) e quadrático (D2) do fator tempo em dias. O objetivo do trabalho foi verificar a influência do tipo de matriz de covariância entre pesos sobre a predição de efeitos aleatórios e sua influência na classificação de reprodutores. Ajustaram-se as matrizes simetria composta (CS), simetria composta heterogênea (CSH), autorregressiva de ordem um (AR(1)), autorregressiva heterogênea de ordem um (ARH(1)), autorregressiva de médias móveis de ordem um (ARMA(1,1)), Toeplitz heterogênea (TOEPH), não estruturada com correlações (UNR), componente de variância (VC) e spatial power (SP(POW)). A alteração do tipo da matriz de covariância alterou a predição dos efeitos aleatórios e fixos estudados no modelo. A matriz mais adequada foi a ARH(1), os efeitos influentes para o melhor modelo foram reprodutor (p<0,05), fêmea (p<0,01), sexo (p<0,01) e tipo de parto (p<0,01) e efeito linear e quadrático do tempo (p<0,01).

Palavras chave: Caprinos Moxotó. Funções de covariância. Medidas repetidas. REML. Teste de esfericidade.

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SUMMARY

Were analised records of weight-age from 412 goats from Moxotó breed, originated from 151 females and 50 males, born between 1984 and 1988, from march to july, in Pernambuco state, northeastern Brazil, totalizing 1749 records. Was considered a mixed model with the factors: sex (S), year of birth (A), month of birth (M), parturition type (T), bristle type (P), parturition order (O), linear effect of relative umidity (U), linear effect of temperature (C), linear effect of pluviosity (H), random effect of male (R), random effect of female (F), linear (D) and quadratic (D2) time effect in days. The objective was to verify the influence of covariance matrix type between weigths on prediction of random effects and the ranking of male goats. Were utilized the follow matrix type compond simmetry (CS), heterogeneity compond simmetry (CSH), autoregressive of order one (AR(1)), heterogeneous autoregressive of order one (ARH(1)), autoregressive moving average of order one (ARMA(1,1)), heterogeneous Toeplitz (TOEPH), non structured with correlation (UNR), variance component (VC), and spatial power (SP(POW)). Change in covariance matrix type changed the predicted random model effects. The most adequate matrix was ARH(1), influential effects were male (p<0,05), female (p<0,01), sex (p<0,01), parturition type (p<0,01), and linear and quadratic effect of time (p<0,01).

Key words: Covariance functions. Moxotó breed. REML. Repeated measures. Sfericity test.

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Introdução

A variabilidade existente em dados longitudinais de observações de cresci-mento animal pode ser devida a fatores entre animais (inter-específicos) e dentro dos próprios animais (intra-específicos) (Khattree e Naik, 1999; Littell et al., 1996).

A diferenciação entre os animais, para posterior julgamento e seleção, visando um programa de melhoramento genético animal, baseia-se geralmente na predição dos valores genéticos dos indivíduos através de avaliações inter-específicas.

A variabilidade intra-específica é, se não esquecida, em muitas vezes assumida como tendo uma estrutura de simetria composta, a qual pode ser descrita por uma matriz de relacionamento (covariâncias ou correlações) entre as diferentes observações que considera a não heterogeneidade de variâncias entre diferentes observações e o comportamento constante da covariância entre elas (Malheiros, 2001).

Esta suposição não satisfaz algumas características comuns em observações de crescimento, pois elas apresentam correlação entre as diferentes medidas, sendo as medidas próximas mais correlacionadas que as distantes e não raro também contam com heterogeneidade de variância (Davidian e Giltinan, 1995; Khattree e Naik, 1999; Littell et al., 1991; Littell et al., 1998; Nunez-Anton e Woodworth, 1994).

A verificação da adequação de uma matriz da classe esférica (Huynh e Feldt, 1970; Milliken e Johnson, 1992), da qual a estrutura simetria composta faz parte, pode ser feita através do teste desenvolvido por Maucly (Mauchly, 1940). Caso a esferi-cidade não seja comprovada seria necessário testar a adequação de outras estruturas matriciais.

A escolha da forma da matriz mais adequada seria um processo interativo de análise, que integraria o objetivo do trabalho, a amostra em estudo, o modelo estatístico empregado e o ajuste oferecido pelas diferentes funções de covariância possíveis de serem aplicados (Keselman et al., 1998; Littell et al., 1998).

A importância da seleção desta estrutura de relacionamento teria conseqüências diretas sobre a estimação dos efeitos fixos do modelo e suas significâncias, assim como alteraria as predições dos efeitos aleatórios (Littell et al., 1998; Malheiros, 2001; Wolfinger e Chang, 1995).

Isto poderia ser notado, por exemplo, através da mudança na classificação ou rank dos animais. Tal mudança de posição levaria a seleção de diferentes animais como os mais adequados ou com maior potencial genético para serem utilizados em um programa de melhoramento genético animal, o que poderia comprometer o andamento do programa ou seus objetivos. Desta forma, não somente o relacionamento entre os animais e os efeitos comuns entre eles (interespecíficos) são importantes, mas também os que delineiam o comportamento do indivíduo em si (intra-específicos).

A suposição de que uma característica com observações longitudinais poderia ser entendida como estando sob mudança continua, proporcionaria a ela um compor-tamento de dimensão infinita (Jaffrézic e Pletcher, 2000; Kirkpatrick e Heckman, 1989). Tal representação seria feita por um modelo infinitesimal (Kirkpatrick et al., 1990), e teria a necessidade de uma matriz de covariâncias de dimensão também infinita. Uma solução encontrada para esta abordagem está na função de covariância (Henderson Jr., 1982; Longford, 1993), a qual especifica uma função apta a descrever o comportamento dos parâmetros da matriz de covariâncias em qualquer ponto desejado, inclusive naqueles não observados (Littell et al., 1996). As funções de covariância reduzem o número de parâmetros a serem estimados, diminuindo o esforço computacional e facilitando a compreensão dos resultados encontrados por parte do pesquisador (Littell et al., 1996; Longford, 1993).

As funções de covariância têm encontrado emprego crescente nas mais diversas áreas (Clark, 1979; Diggle et al., 1994; Kirkpatrick et al., 1990; Lindsey, 1993; Littell et al., 1998; Marx e Thompson, 1987; Meyer, 1998; Meyer, 1999; Meyer, 2000; Meyer e Hill, 1997; Patel, 1986; Ripley, 1981), devendo-se isto principalmente à eficiente implementação da metodologia em pacotes estatísticos de análise de dados, tais como o S-PLUS (MATHSOFT, 1999) e o SAS (SAS, 2000).

Considerando o exposto anteriormente, este trabalho teve por objetivo demonstrar a identificação de uma função de covariância adequada para descrever efeitos dentro de unidades experimentais, utilizando dados de crescimento do tipo peso-idade, de caprinos Moxotó criados no estado de Pernambuco, verificando as conseqüências da escolha de diferentes funções de covariância sobre a classificação dos reprodutores.

 

Material e métodos

Foram utilizados dados de 412 caprinos da raça Moxotó, filhos de 151 mães e 50 pais, nascidos entre 1984 e 1988, nos meses de março a julho, no município de Serra Talhada, na região do Sertão do estado de Pernambuco. As condições climáticas médias para os meses de nascimento foram: umidade relativa 53,97% (±11,45), temperatura 26,18^oC (±1,59); pluviosidade 89,33mm³ (±109,29). As pesagens ocorreram ao nascimento e, posteriormente, aos 28, 112, 196 e 364 dias de idade, totalizando 1749 observações, pois nem todos os animais possuíam todas as observações.

Utilizou-se o seguinte modelo misto, denominado de modelo completo, para a descrição dos dados de pesagem:

Y_ijklmnopqrs= μ + S_k + A_l + M_m + T_n + P_o + O_p + U + C + H + D + D² + R_q(A_l) + F_r + e_ijklmnopqrs

onde:

Y_ijklmnopqrs: representa o peso observado para o animal i na idade j, i= 1, ..., 412; j= 0, 28, 112, 196, 364;

μ: representa uma constante comum a todas as observacoes;

S_k: representa o sexo, k= 1 (macho), 2 (fêmea);

A_l: representa o ano de nascimento do animal, l= 1984, 1985, 1986, 1987, 1988;

M_m: representa o mês de nascimento do animal, m= 3, 4, 5, 6, 7;

T_n: representa o tipo de parto, n= 1 (simples), 2 (duplo);

P_o: representa o tipo de pelagem, o= 1 (simples), 2 (composta);

O_p: representa a ordem de parto, p= 1, 2, 3, 4, 5, 6;

U: representa o efeito linear da umidade relativa do ar no dia da pesagem;

C: representa o efeito linear da temperatura no dia da pesagem;

H : representa o efeito linear da pluviosidade no dia da pesagem;

D : representa o efeito linear do fator tempo (dias);

D²: representa o efeito quadrático do fator tempo (dias);

R_q(A_l): representa o efeito aleatório do reprodutor q (q= 1, ..., 50) dentro de ano l;

F_r: representa o efeito aleatório da mãe r (r= 1, ..., 151) e

e_ijklmnopqrs: representa o erro aleatório associado a cada observação.

Encontrada a matriz de covariância mais adequada (descrito a seguir), as variáveis do modelo passaram por uma seleção do tipo backward (Neter et al., 1989), sendo o mesmo processo realizado com a matriz do ipo simetria composta. Este passo teve por objetivo retirar todas os efeitos fixos não significativos do modelo, produzindo o que foi denominado de melhor modelo para ambas matrizes de covariância. Este procedimento segue sugestão de Khattree e Naik (1999), Littell et al. (1996) e Matsushita (1994), pois na comparação de diferentes estruturas de covariância a eliminação de efeitos no modelo deve ser feita entre os efeitos fixos e não entre os aleatórios, para não comprometer a estimação dos parâmetros da matriz de covariâncias, pois ao retirar ou incluir efeitos aleatórios, já não estariam sendo comparadas as mesmas matrizes devido a mudança nas suas dimensões, influenciando todos os demais passos da análise.

Não foi composto grupo contemporâneo por estação de nascimento, pois os animais apresentaram nascimento em uma única estação do ano, a época chuvosa para a região, que vai de março a setembro. Optou-se, então, por utilizar os efeitos de ano e mês de nascimento. O mesmo processo foi repetido com a matriz do tipo simetria composta. Os efeitos climáticos são dinâmicos, mudando de valor e influenciando diferentemente os pesos a cada medida, desta forma, seus valores foram incluídos a cada pesagem, tal como sugerido por Verbyla (1988). Utilizou-se o efeito de pai dentro de ano porque se verificou o uso diferenciado de alguns pais em determinados anos.

Para a matriz de covariâncias dos efeitos entre animais foi ajustada uma matriz com configuração de componentes de variância (VC), pois os reprodutores não eram relacionados. Para os efeitos dentro das pesagens foram ajustadas as matrizes com estrutura simetria composta (CS), simetria composta heterogênea (CSH), autorregressiva de ordem um (AR(1)), autorregressiva hete-rogênea de ordem um (ARH(1)), auto-rregressiva de médias móveis de ordem um (ARMA(1,1)), Toeplitz heterogênea (TOEPH), não estruturada com correlações (UNR), componente de variância (VC) e spatial power (SP(POW)).

O PROC GLM do SAS (SAS, 2000) foi usado para se realizar o teste de esfericidade de Mauchly. Os parâmetros do modelo misto foram estimados por máxima verossi-milhança restrita, através do PROC MIXED do programa SAS (SAS, 2000). A possi-bilidade de diferença significativa entre matrizes que são uma sub-tipo da outra foi realizada através do teste de razão de verossimilhança, descrita por Khattree e Naik (1999) e Matsushita (1994). A matriz de melhor ajuste foi escolhida pelo melhor valor de ajuste do critério de informação de Akaike (AIC).

Os valores preditos para os efeitos aleatórios obtidos através do melhor modelo com a matriz mais adequada e também com matriz tipo CS foram comparadas em tabela, para demonstrar a influência da escolha da matriz sobre a classificação dos reprodutores (pais e mães) e seus valores preditos.

 

Resultados e discussão

TESTE DE ESFERICIDADE

Para a amostra estudada o critério de Mauchly para o teste de esfericidade foi de 0,3119374 (g.l.= 9, χ²=26,11435, p<0,01), o que indicou a não esfericidade da matriz, devendo-se testar outras configurações para o relacionamento intra-específico.

MATRIZES DE COVARIÂNCIA

A estrutura CSH apresentou bom ajuste, sendo que ela supõe heterogeneidade de variância e também um comportamento não constante das covariâncias entre todas as observações, mas não apresenta um fator de correlação explícito em sua definição. A forma ARH(1), além das mesmas suposições para as covariâncias, possui um fator heterogêneo de correlação, e não de covariância como a CSH. Este fator, mais adequado na descrição de medidas de peso, proporcionou um ajuste ligeiramente superior à estrutura ARH(1) em relação à CSH (tabela I).

A matriz do tipo ARH(1) foi considerada a mais adequada, apesar da matriz com o segundo melhor ajuste, a CSH, também apresentar um bom ajuste (tabela I). Estruturas que não possibilitam a correlação entre as diferentes medidas, quando elas estão presentes, também apresentaram ajuste ruim, como no caso da estrutura VC. As matrizes que permitem correlação entre as diferentes medidas, mas supõem que elas sejam constantes não estão em conformidade com o comportamento encontrado na amostra, em que medidas mais próximas apresentam correlações mais altas, assim, as estruturas AR(1) e ARMA(1,1) não apresentaram ajuste superior. O uso de matrizes não estruturadas como a UNR, elevou o número de parâmetros a serem estimados, além de conduzir a problemas de convergência e estimação de parâmetros, apresentando um padrão de comportamento errático para a característica sob estudo, concordando com o discutido por Littell et al. (1998).

Marx e Thompson (1987) indicaram que as relações de covariância seriam descritas mais apropriadamente por matrizes dos tipos esférico, exponencial, gaussiano, linear, linear generalizado e logarítmico no caso de dados espacialmente distribuídos. Para o caso onde as repetidas observações são tomadas no tempo e suspeita-se de correlação entre as mesmas, o que é comum em experimentos farmacológicos e de crescimento, um modelo padrão seria uma matriz autorregressiva de ordem um (AR(1)), empregada para dados com ou sem igual espaçamento entre observações (Davidian e Giltinan, 1995). O software SAS (SAS, 2000) possui ainda outras formas para a matriz de covariâncias, como exemplificado por Khattree e Naik (1999) e Littell et al. (1996).

Entre os critérios de seleção para o melhor modelo misto estão o teste assin-tótico da razão de verossimilhança, o critério de informação de Akaike (AIC) e o critério bayesiano de Schawrz (BIC). O primeiro, entretanto, só pode ser utilizado para comparar um modelo contra outro desde que uma matriz de covariância seja um caso especial da outra (Matsushita, 1994). Havendo várias matrizes a serem comparadas, e algumas não serem casos especiais de outras, não foi permitida a utilização do teste assintótico da razão de verossi-milhança para comparação entre todas elas; escolheu-se, então, a melhor matriz pelo critério AIC. O AIC pode ser utilizado para comparar modelos com os mesmos efeitos fixos, mas diferentes estruturas de variância, sendo que o modelo com o maior AIC será considerado o melhor. No caso do BIC o julgamento é o mesmo, mas ele penaliza mais os modelos com grande número de parâ-metros do que o AIC faz, sendo que os dois critérios podem não concordar (Wolfinger e Chang, 1995, Xavier, 2000).

INFLUÊNCIA DE EFEITOS FIXOS

Houve pouca variação climática entre os meses de nascimento e os animais estavam bem aclimatados à região, justificando que os efeitos fixos das variáveis climáticas umidade, temperatura e pluviosidade não foram significativos para nenhuma das estruturas ARH(1) ou CS (tabela II). O sexo, tipo de parto, efeitos linear e quadrático de dias foram significativos (p<0,01) para todos os modelos. O efeito de ano de nascimento não foi significativo somente para ARH(1). O tipo de pelagem não foi significativo para o modelo ARH(1).

 

Em uma maneira geral, os modelos ARH(1) e CS diferiram quanto à significância do efeito fixo de ano de nascimento e tipo de pelagem (tabela II).

Observou-se que conforme se alterou a configuração da matriz de covariância, alteraram-se também as significâncias dos efeitos fixos e aleatórios estudados no modelo, concordando com o exposto por Wolfinger e Chang (1995), que salientaram a importância da especificação da matriz, pois os testes estatísticos seriam uma função dela.

Ao se tratar a curva de crescimento como uma trajetória polinomial, dados pelos efeitos linear e quadrático do tempo em dias, flexibilizam-se as oscilações existentes entre diferentes indivíduos e no próprio indivíduo (Xavier, 2000), melhorando a explicação do comportamento das obser-vações (Wolfinger e Chang, 1995) e ajustando um modelo que reduz o número parâ-metros a serem estimados (Von Ende, 1993; Kshirsagar e Smith, 1995).

MELHOR MODELO

O melhor modelo para a descrição dos dados de pesagem, para as matrizes com estrutura ARH(1) e CS, foi:

Y_ijknqlrs= μ + S_k + T_n + D + D² + R_q(A_l) + F_r + e_ijknqlrs

cujos termos já foram descritos (modelo completo), sendo que os valores estimados e preditos para os efeitos fixos e aleatórios estão demonstrados na tabela III.

 

O valor estimado para o efeito linear do tempo foi próximo para ambos os modelos, e o efeito quadrático foi o mesmo (tabela III). Entretanto, para os efeitos sexo e tipo de parto, o modelo ARH(1) apresentou valores inferiores ao do modelo CS. O intercepto para o modelo CS foi inferior ao do modelo ARH(1).

VALORES PREDITOS

Segundo Littell et al. (1998) e Wolfinger e Chang (1995), as diferentes estruturas das matrizes de covariância levariam a diferentes valores preditos para os efeitos aleatórios do modelo analisado. A matriz do tipo CS seria menos eficiente que a ARH(1), por desconsiderar a heterogeneidade de variância nas diferentes idades e as diferentes covariâncias entre elas, o que seria denotado pelo menor ajuste (tabela I).

Os valores preditos para os reprodutores (tabela IV) pela matriz CS apresentaram-se abaixo daqueles da matriz ARH(1), para os anos de 1986 e 1987, acima, para os anos de 1984 e 1988, e próximos, para o ano de 1985. Para as fêmeas o comportamento não teve um padrão definido (tabela V).

A mudança no valor predito para os reprodutores dentro dos anos segundo o tipo de matriz (ARH(1) ou CS), tanto pais quanto mães (tabelas IV e V), deixou evidente a mudança na classificação dos animais conforme a matriz de covariância utilizada.

Desta forma, a pressuposição, pelo pesquisador, de que a matriz de covariâncias possui estrutura CS, quando outro tipo seria mais plausível, poderia levar a grandes erros de estimação e predição de valores futuros. Devendo-se considerar, ainda, o fato de que muitos pesquisadores ignoram que a matriz de covariâncias assumida por determinados pacotes estatísticos, caso nenhuma forma seja especificada, é a estrutura VC, que é ainda mais simples que a CS, por considerar as covariâncias como nulas e todas variâncias tendo o mesmo valor.

As implicações para programas de melhoramento genético animal são ime-diatas, uma vez que os valores preditos são a base para a seleção dos animais. Uma vez selecionado o animal errado, poderia ocorrer o comprometimento de todo o programa de melhoramento genético.

Apesar da implementação da metodo-logia ser relativamente recente nos pacotes estatísticos (SAS, 2000, MATHSOFT, 1999), vários autores recomendam uma análise criteriosa das estruturas de covariância possíveis de serem utilizadas ao invés da aplicação direta de uma estrutura qualquer, sem critérios estatístico-experimentais que a justifiquem (Littell et al., 1998; Longford, 1993; Keselman, 1998). Deve-se ter em mente que a estrutura real da matriz de covariâncias é desconhecida, devendo-se buscar a mais adequada entre as disponíveis para uso através de critérios bem definidos.

 

Conclusões

O correto acondicionamento das relações entre efeitos entre e dentro das observações de pesagens, através de uma matriz que admitiu diferentes correlações e covariâncias entre as diferentes pesagens, apresentou resultados mais adequados e satisfatórios que aqueles de uma análise efetuada em um modelo de repetibilidade, comumente utilizado.

A suposição de que a esfericidade está presente na amostra, sem que se efetue o teste adequado, poderia levar o pesquisador a incorrer em erros de significância para os testes estatísticos, o que causaria conclu-sões erradas a respeito de quais efeitos seriam realmente influentes ou não, levando também a predição de valores futuros tendenciosos.

Recomenda-se a verificação da adequação da matriz de covariâncias, através do uso da metodologia de modelos mistos utilizando-se estimativas REML, apesar do maior tempo de análise necessário pelo pesquisador, por tratar-se de processo computacionalmente intensivo, pois os resultados seriam mais confiáveis, e as inferências a partir dos mesmos mais seguras.

 

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Recibido: 14-2-08.
Aceptado: 17-11-08.